多面体欧拉公式_多面体欧拉公式证明

       在接下来的时间里，我将尽力为大家解答关于多面体欧拉公式的问题，希望我的回答能够给大家带来一些思考。关于多面体欧拉公式的话题，我们开始讲解吧。

1.欧拉公式具体是什么.

2.一个多面体的面数为6，棱数是12，则其顶点数为8，它用到的欧拉公式是什么，请具体一点说。

3.一个多面体是有三角形和八边形组成，有24个顶点，每个顶点处有三条棱，

欧拉公式具体是什么.

       欧拉

       欧拉公式

       著名的数学家,瑞士人,大部分时间在俄国和法国度过.他17岁获得硕士学位,早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学,毕业后研究数学,是数学史上最高产的作家.在世发表论文700多篇,去世后还留下100多篇待发表.其论著几乎涉及所有数学分支.他首先使用f(x)表示函数,首先用∑表示连加,首先用i表示虚数单位.在立体几何中多面体研究中,首先发现并证明欧拉公式.

       多面体

       多面体的定义

       若干个平面多边形围成的几何体

       (1)

       (2)

       (3)

       ( 4 )

       ( 5 )

       多面体的有关概念

       多面体的面

       棱

       顶点

       凸多面体

       把多面体的任何一个面延伸为平面,如果所有其他各面都在这个平面的同侧,这样的多面体叫做凸多面体

       多面体的分类

       四多面体

       五多面体

       六多面体等

       多面体

       正多面体

       每个面都是有相同边数的正多边形,且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体,叫正多面体.

       (1)

       (2)

       (3)

       正四面体

       正六面体

       正八面体

       正十二面体

       正二十面体

       多面体

       (6)

       ( 7 )

       ( 8 )

       简单多面体

       表面经过连续变形能变成一个球面的多面体

       ( 5 )

       讨论

       问题1: (1)数出下列四个多面体的顶点数V,面数F,棱数E 并填表

       (1)

       (2)

       (3)

       图形编号

       顶点数V

       面数F

       棱数E

       (1)

       (2)

       (3)

       (4)

       规律:

       V+F-E=2

       4

       6

       4

       8

       6

       12

       6

       8

       12

       20

       12

       30

       (欧拉公式)

       (4)

       ( 6 )

       ( 5 )

       问题1: (2)数出下列多面体的顶点数V,面数F,棱数E 并填表

       5

       8

       5

       7

       8

       12

       图形编号

       顶点数V

       面数F

       棱数E

       (5)

       (6)

       V+F-E=2

       (欧拉公式)

       简单多面体

       讨论

       问题2:如何证明欧拉公式

       A

       B

       C

       D

       E

       A1

       B1

       C1

       D1

       E1

       A

       B

       C

       D

       E

       A1

       B1

       C1

       D1

       E1

       讨论

       思考1:多面体的面数是F,顶点数是V,棱数是E,则平面图形中的多边形个数,顶点数,边数分别为

       思考2:设多面体的F个面分别是n1,n2, ···,nF边形,各个面的内角总和是多少

       (n1-2) ·1800+ (n2-2) ·1800+···+ (nF-2) ·1800=(n1+n2+···+nF-2F)· 1800

       思考3: n1+n2+···+nF和多面体的棱数E有什么关系

       n1+n2+···+nF =2E

       F,V,E.

       问题2:如何证明欧拉公式

       讨论

       A

       B

       C

       D

       E

       A1

       B1

       C1

       D1

       E1

       A

       B

       C

       D

       E

       A1

       B1

       C1

       D1

       E1

       多边形内角和=(E-F)·3600

       思考4:设平面图形中最大多边形(即多边形ABCDE)是m边形,则它和它内部的全体多边形的内角总和是多少

       2(m-2) ·1800+(V-m) ·3600=(V-2) ·3600

       ∴(E-F)·3600= (V-2) ·3600

       问题2:如何证明欧拉公式

       讨论

       A

       B

       C

       D

       E

       A1

       B1

       C1

       D1

       E1

       A

       B

       C

       D

       E

       A1

       B1

       C1

       D1

       E1

       V+F-E=2

       欧拉公式

       问题3:欧拉公式的应用

       例1 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家.C60是有60 个C原子组成的分子,它结构为简单多面体形状.这个多面体有60个顶点,从每个顶点都引出3条棱,各面的形状分别为五边星或六边形两种.计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少

       解:设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和 y个.

       由题意有顶点数V=60,面数=x+y,棱数E= (3×60)

       根据欧拉公式,可得 60+(x+y) - (3×60)=2

       另一方面,棱数也可由多边形的边数来表示,即

       (5x+6y)= (3×60)

       由以上两个方程可解出 x=12,y=20

       答:C60分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和20个.

       例2,有没有棱数是7 的简单多面体

       解:假设有一个简单多面体的棱数E=7.

       根据欧拉公式得 V+F=E+2=9

       因为多面体的顶点数V≥4,面数F≥4,所以只有两种情形:

       V=4,F=5 或 V=5,F=4.

       但是,有4 个顶点的多面体只有4个面,而四面体也只有四个顶点.所以假设不成立,没有棱数是7 的简单多面体

一个多面体的面数为6，棱数是12，则其顶点数为8，它用到的欧拉公式是什么，请具体一点说。

       方法3 用拓朴学方法证明欧拉公式

        图尝试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。

       欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假设F，E和V分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那末

       F-E+V=2。

       证明 如图（图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的）：

       （1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。

       （2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。

       （3）对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。

       （4）如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。

       （5）如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。

       （6）这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。

       （7）因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。

       （8）如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。

       即F′-E′+V′=1

       成立，于是欧拉公式：

       F-E+V=2

       得证。

一个多面体是有三角形和八边形组成，有24个顶点，每个顶点处有三条棱，

       简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系　

        V+F-E=2

       公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。

       考虑一个简单多面体，将它减去一个面，然后将其余部分展平，则这时有V-E+F=1，而它变成了一个由多边形组成的网；然后连接每个多边形的对角线，知道它们都被分成三角形。在这个过程中，有的三角形的边界有一条，有的有两条。然后去掉边界三角形与其他三角形不共用的那些边界，对于只有一个边界的，它少了一条棱，也少了一个面。所以V-E+F不变，对于有两条边界的，它少了一个面，一个顶点和两条棱，所以也不变。到最后，只剩下一个三角形，它有3个顶点，三条棱和一个面，因此V-E+F=1,所以对于完整的多面体，将有V-E+F=2成立。

       解：有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线，共有24x3÷2=36条棱。

       设总面数为F。

       24+F-36=2

       F=36-24+2

       F=14

       x+y=14

       解析

       根据欧拉公式可得顶点数+面数-棱数=2，然后表示出棱数，进而可得面数。

       在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+V-E=2，这就是欧拉定理?，它于 1640年由?Descartes首先给出证明 ，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理。

       R+V-E=2就是欧拉公式。

扩展资料：

       1、审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。读题时，不丢字不添字边读边思考，弄明白题中每句话的意思。也可以复述条件和问题，帮助理解题意。

       2、选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么，要求什么着手，逐步根据所给的条件和问题，联系四则运算的含义，分析数量关系，确定算法，进行解答并标明正确的单位名称。?

       3、检验：就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过程是否正确，是否符合题意。如果发现错误，马上改正。

       好了，今天关于多面体欧拉公式就到这里了。希望大家对多面体欧拉公式有更深入的了解，同时也希望这个话题多面体欧拉公式的解答可以帮助到大家。